Halaman
28Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKProgram LinearKompetensi Dasar Pengalaman Belajar• Kendala/Keterbatasan (Constraint)• Optimum (Maksimum atau minimum)• Daerah Layak, Daerah Jawab, Daerah Penyelesai an • Garis Selidik• Titik OptimumIstilah Penting A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarBAB2Setelah mengikuti pembelajaran program linear siswa mampu:3.2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual.4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel.Melalui pembelajaran program linear, siswa mem peroleh pengalaman belajar:• berlatih berpikir kreatif dan kritis dalam memecahkan masalah;• menunjukkan sikap tanggung jawab dalam menyelesaikan masalah;• menganalisis masalah secara konsisten dan jujur;• mengamati fenomena masalah optimasi dalam kehidupan sehari-hari;• menunjukkan kemampuan dalam memaksimalkan waktu dan hasil belajar.
29MATEMATIKA B. Diagram AlirSistem Persamaan dan Pertidaksamaan LinearSolusi Masalah Program LinearProgram LinearMasalah Program LinearMateri PrasyaratMasalahAutentikDaerah Penyelesaian Kendala Program LinearNilai MaksimumFungsi ObjektifNilai MaksimumGaris Selidik
30Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK2.1 Pertidaksamaan Linear Dua VariabelKonsep persamaan dan sistem persamaan linear dua variabel sudah kamu pelajari. Dalam pertidaksamaan, prinsip yang ada pada persamaan juga kita gunakan dalam menyelesaikan pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Prinsip yang dimaksud adalah menentukan nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear tersebut.Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Contohnya, lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian, dan batas berat bersih suatu kendaraan yang diperbolehkan oleh dinas perhubungan. Perhatikan beberapa masalah pertidaksamaan berikut. C. Materi PembelajaranSanti berbelanja di toko peralatan sekolah dengan uang yang tersedia Rp250.000,00. Harga setiap barang di toko tersebut telah tersedia di daftar harga barang sehingga Santi dapat memperkirakan peralatan sekolah apa saja yang sanggup dia beli dengan uang yang dia miliki. Berdasarkan daftar harga, jika Santi membeli 2 seragam sekolah dan 3 buku maka dia masih mendapatkan uang kembalian. Dapatkah kamu memodelkan harga belanjaan Santi tersebut?Masalah 2.1Alternatif Penyelesaian:Dengan memisalkan harga seragam sekolah = x dan harga buku = y maka permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut:Santi membeli 2 seragam sekolah dan 3 buku dan mendapatkan uang kembalian mempunyai arti 2x + 3y < 250.000. (2a)
31MATEMATIKAUntuk menentukan himpunan penyelesaian (2a), kita pilih x dan y yang memenuhi (2a). Selengkapnya kita sajikan pada tabel berikut.Tabel 2.1: Semua kemungkinan nilai x dan y yang memenuhi 2x + 3y < 250.000x(Rp)y(Rp)2x + 3y(Rp)Uang kembalian(Rp)20.0005.00055.000195.00030.0006.00078.000172.00040.00010.000110.000140.00050.00020.000160.00090.000....................Tabel di atas masih dapat dilanjut hingga tak hingga banyaknya nilai x dan y yang memenuhi (2a). i. Untuk mengisi tabel di atas, berikan penjelasan jika x = 0 dan y = 90.000.ii. Menurut kamu, berapa harga paling mahal satu baju dan harga paling mahal satu buku yang mungkin dibeli oleh Santi? Berikan penjelasan untuk jawaban yang kamu berikan.Dengan demikian pasangan nilai x dan y yang memenuhi (2a), dapat kita tuliskan dalam himpunan dan terdapat banyak nilai x dan y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y < 250.000, tetapi kamu harus mempertimbangkan nilai x dan y dengan realita yang ada. Secara geometris, himpunan penyelesaian di atas, diilustrasikan sebagai berikut.
32Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 2.1: Daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y < 250.000Keterangan gambar: • Daerah yang tidak diarsir adalah daerah yang memenuhi.• Garis putus – putus bermakna, tanda pertidaksamaan “ > “ atau “<” bukan “≤” atau “≥”. Untuk pertidaksamaan yang menggunakan tanda “≤” atau “≥”, grafik garisnya berupa garis lurus.• Tentunya kamu tahu, alasannya kenapa garis putus-putus tersebut hanya di kuadran I. Dalam buku ini, untuk semua grafik persamaan linear atau sistem pertidaksamaan linear, Daerah Bersih merupakan daerah penyelesaianpertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan yang dikaji.80000600004000020000xy2x + 3y < 250.00020000 40000 60000 80000 100000 120000DaerahPenyelesaian(DP)
33MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Misalkan p = luas lahan yang ditanami jagung (m2)q = luas lahan yang ditanami kentang (m2).Dengan demikian, luas lahan yang ditanami jagung ditambah dengan luas lahan yang ditanami kentang kurang dari atau sama dengan 600 m2, dan lahan yang ditanami kentang lebih luas dari lahan yang ditanami jagung, secara matematik dituliskan:p + q≤ 600. (2b)qpqp>↔−>0 (2c)Dengan pengalaman menyelesaikan Masalah 2.1, diharapkan kita akan mudah menentukan semua nilai p dan q yang memenuhi (2b) dan (2c). Selengkapnya disajikan pada tabel berikut.Tabel 2.2: Semua kemungkinan nilai p dan q yang memenuhi pq+≤600dan qp−>0p (m2)q (m2)p + q (m2)100500600200400600250300550250260510............... Dengan melihat spasi pada grafik di atas, kita dapat menemukan tak hingga banyaknya pasangan x dan y yang terletak pada daerah yang memenuhi. Misalnya x = 100.000, dan y = 10.000, sedemikian sehingga menjadikan pertidaksamaan (2a) bernilai benar, karena 200.000 + 30.000 = 230.000 < 250.000. Tentunya, kamu dapat memilih titik yang tak hingga banyaknya yang terdapat pada daerah penyelesaian.Masalah 2.2Pak Rianto, seorang petani di desa Magelang, memiliki lahan berbentuk persegi panjang seluas 600 m2. Dia hendak menanam jagung dan kentang di lahan tersebut. Karena tidak selalu tersedia modal yang cukup, Pak Rianto tidak memungkinkan untuk mengolah seluruh lahannya, akan tetapi dia ingin lahannya lebih luas ditanami kentang. Tentukan luas lahan yang mungkin untuk ditanam jagung dan kentang.
34Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTabel 2.2 dapat kamu lanjutkan, karena tak hingga banyaknya nilai p dan q yang memenuhi (2b) dan (2c). Secara geometri, himpunan penyelesaian pertidaksamaan 600≤+qpdanq - p > 0, disajikan pada gambar berikut.Gambar 2.2: Daerah penyelesaian pertidaksamaan p + q ≤ 600 dan q - p > 0 Sekali lagi, diingatkan kembali bahwa daerah yang bersih atau daerah yang tidak diarsir adalah daerah yang memenuhi. Kita dapat mengambil suatu titik yang terdapat pada daerah penyelesaian, misalnya titik (100, 480), maka menjadi pertidaksamaan p + q≤ 600 bernilai benar, karena 100 + 480 = 580 < 600. Tentunya kamu dapat menuliskan titik yang tak hingga banyaknya yang terdapat di daerah penyelesaian dan memenuhi p + q≤ 600 dan q > p.600500400300200100100 200 300 400 500 600DaerahPenyelesaian(DP)p + q ≤600q - p > 0qp
35MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Misalkan r = nilai tes tertulis yang diperoleh Harlens = nilai tes fisik yang diperoleh Harlen.Diketahui bahwa bobot untuk setiap nilai tes berturut-turut adalah 0,6 dan 0,4. Untuk dinyatakan lulus, maka nilai gabungan tes tertulis dan fisik yang diraih Harlen minimal 65, secara matematik dapat dituliskan:(0,6 × r) + (0,4 × s)≥ 6555 ≤r≤ 100 (2d)55 ≤s≤ 100Nilai variabel r dan s yang memenuhi (2d), dinyatakan pada tabel berikut.Tabel 2.3: Semua kemungkinan nilai r dan s yang memenuhi (2d)Masalah 2.3Harlen, mengikuti ujian AKPOL pada tahun 2014. Sistem ujian yang selektif dan kompetetif, mengharuskan setiap peserta ujian harus memiliki nilai gabungan tes tertulis dan tes fisik minimal 65, dengan bobot 0,6 untuk nilai tes tertulis dan 0,4 tes fisik. Namun, untuk setiap tes harus memiliki nilai minimal 55.Nyatakanlah masalah ini dalam simbol matematik dan tentukanlah himpunan penyelesaiannya.rs(0,6 × r + 0,4 × s) 55 90 69 58 80 66,8 65 70 67 80 80 80. . . . . . . . . . . .Tentunya, kamu dapat meneruskan mengisi Tabel 2.3, karena terdapat tak hingga banyaknya nilai r dan s yang memenuhi (2d).
36Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSecara geometris, himpunan penyelesaian diilustrasikan sebagai berikut.Gambar 2.3: Daerah penyelesaian pertidaksamaan (2d) Jika melihat daerah penyelesaian pada grafik di atas, seakan-akan hanya sedikit pasangan titik yang terdapat pada daerah penyelesaian tersebut. Hal ini, yang menegaskan bahwa tidak cukup yang memberikan grafik atau gambar untuk bukti atau jawaban untuk suatu masalah. Tetapi, kita masih dapat memilih titik-titik pada daerah penyelesaian sedemikian sehingga menjadikan pertidaksamaan (2c) bernilai benar, misalnya r = 75,5 dan s = 70,2 akibatnya [(0,6) × (75,5)] + [(0,4) × (70,2)] = 73,38 ≥ 65.Tentunya masih banyak masalah kontekstual yang dapat kita modelkan menjadi pertidaksamaan linear dua variabel. Nah, dari Masalah 2.1, Masalah 2.2, dan Masalah 2.3 dapat kita simpulkan definisi pertidaksamaan linear dua variabel.300200100–100–200–300–300 –200 –100 100 200 300 DPrs
37MATEMATIKAPerlu kamu ingat bahwa untuk setiap pertidaksamaan linear dua variabel, pada umumnya, memiliki himpunan penyelesaian yang tak hingga banyaknya.Definisi 2.1Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang ber bentukax + by + c < 0ax + by + c≤ 0ax + by + c > 0ax + by + c≥ 0dengan: a, b: koefisien (a ≠0, b ≠0, a,b ∈ R)c: konstanta (c ∈ R)x, y: variabel (x, y ∈ R)Contoh 2.1Tentukan himpunan penyelesaian dan gambarkan grafik untuk setiap pertidaksamaan di bawah ini.a. –2x + y > 5, untuk x dan y semua bilangan realb. 4x – 5y≤ 30, dengan 10 < x < 30 dan 10 < y < 30 untuk x dan y semua bilangan real.c. x + 3y≥ 30, untuk x dan y semua bilangan real.Alternatif Penyelesaian:a. Dengan menguji nilai-nilai x dan y yang memenuhi 52>+-yx, maka dapat ditemukan banyak pasangan x dan y yang memenuhi pertidaksamaan.
38Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKIlustrasi himpunan penyelesaian, jika dikaji secara geometris disajikan pada gambar berikut.Gambar 2.4: Daerah penyelesaian pertidaksamaan –2x + y > 5Dari gambar diperoleh bahwa terdapat titik yang tak hingga banyak-nya (daerah yang tidak diarsir) yang memenuhi –2x + y > 5. Kali ini, melalui grafik, kita dapat memilih sembarang titik, misalnya titik (–5, 0), sedemikian sehingga –2(–5) + 0 = 10 > 5 adalah pernyataan benar.b. Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 4530xy−≤, dengan 1030<<x dan 1030<<y, kita harus menguji setiap nilai x dan y yang memenuhi 4530xy−≤. Misalnya kita ambil x = 11 dan y = 11, maka 4115111130..−=−≤ adalah suatu pernyataan yang benar. Tetapi terdapat banyak titik yang memenuhi pertidaksamaan pertidaksamaan 4530xy−≤, dengan 1030<<x dan 1030<<y, bukan? Himpunan penyelesaian bagian b) ini, jika kita ilustrasikan seperti gambar berikut.DPxy–10 –5 5 10105–5–10
39MATEMATIKAGambar 2.5: Daerah penyelesaian pertidaksamaan 4x – 5y≤ 30, untuk 10 < x < 30 dan 10 < y < 30.Meskipun nilai x dan y sudah dibatasi, masih terdapat titik yang tak hingga banyaknya (semua titik yang terdapat di daerah penyelesaian) yang memenuhi pertidaksamaan. Misalnya titik (12,5 , 13,2), mengakibatkan 4(12,5) – 5(13,2) = –4 ≤ 30 adalah suatu pernyataan benar.c. Pertidaksamaan x + 3y≥ 30, artinya kita harus memikirkan bilangan xdan y sedemikian sehingga x + 3y paling kecil 30. Jelasnya, tak hingga banyaknya bilangan x dan y yang memenuhi x + 3y≥ 30, secara lengkap dituliskan;Himpunan Penyelesaian = {(0, 10), (–10, 15), (31, 0), (50, –6), . . . .}.Secara geometri, himpunan penyelesaian di atas digambarkan sebagai berikut.–10 10 20 30302010–10DPxy
40Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 2.6: Daerah penyelesaian pertidaksamaan x + 3y≥ 30, untuk semua x dan y adalah bilangan real.Pertanyaan Kritis !!!i. Apakah semua pertidaksamaan memiliki himpunan penyelesaian? Berikan penjelasan atas jawaban kamu.ii. Misalkan diberikan suatu himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan yang disajikan pada suatu grafik, bagaimana caranya membentuk pertidaksamaan yang memenuhi himpunan penyelesaian tersebut? 2.2 Program LinearSetiap orang yang hendak mencapai tujuan, pasti memiliki kendala-kendala yang berkaitan dengan tujuan tersebut. Misalnya, seorang petani ingin memanen padinya sebanyak-banyak, tetapi kendala cuaca dan hama terkadang tidak dengan mudah dapat diatasi. Seorang pedagang ingin memperoleh keuntungan sebesar-besarnya tetapi terkendala dengan biaya produksi atau biaya pengangkutan atau biaya perawatan yang besar. Masalah-masalah kontekstual ini, akan menjadi bahan kajian kita selanjutnya. Mari kita mulai dengan masalah transmigrasi berikut ini.–20 –10 10 20 30 40 505040302010–10–20DPxy
41MATEMATIKAPerumusan Masalah:Mari kita mengkaji jika hasil padi dan jagung dinyatakan per kuintal. Berdasarkan masalah di atas, diketahui bahwa setiap 1 hektar menghasilkan 50 kuintal padi. Artinya, untuk 1 kuintal padi diperlukan 0,02 hektar. Demikian juga, untuk 1 kuintal jagung diperlukan 0,05 hektar. Cermati angka-angka yang tersaji pada tabel berikut ini!Tabel 2.4: Alokasi setiap sumber yang tersediaSumberPadi (perkuintal)Jagung (perkuintal)Batas sumberSatuantanah 0,020,0510HektarTenaga1081.550jam-orangPupuk53460KilogramPendapatan4030Ribuan RupiahMasalah 2.4Sekelompok tani transmigran mendapatkan 10 hektar tanah yang dapat ditanami padi, jagung, dan palawija lain. Karena keterbatasan sumber daya petani harus menentukan berapa bagian yang harus ditanami padi dan berapa bagian yang harus ditanami jagung, sedangkan palawija lainnya ternyata tidak menguntungkan. Untuk suatu masa tanam, tenaga yang tersedia hanya 1.550 jam-orang, pupuk juga terbatas, tak lebih dari 460 kilogram, sedangkan air dan sumber daya lainnya cukup tersedia. Diketahui pula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 10 jam-orang tenaga dan 5 kilogram pupuk, dan untuk 1 kuintal jagung diperlukan 8 jam-orang tenaga dan 3 kilogram pupuk. Kondisi tanah memungkinkan menghasilkan 50 kuintal padi per hektar atau 20 kuintal jagung per hektar. Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp40.000,00 sedang dari 1 kuintal jagung Rp30.000,00 dan dianggap bahwa semua hasil tanamnya selalu habis terjual. Masalah bagi petani ialah bagaimanakah rencana produksi yang memaksimumkan pendapatan total? Artinya berapa hektar tanah harus ditanami padi dan berapa hektar tanah harus ditanami jagung
42Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKCatatan:1. Satuan jam-orang (man-hour) adalah banyak orang kali banyak jam bekerja.Kita anggap (asumsi) bahwa setiap transmigran memiliki tenaga dan waktu yang relatif sama.2. Air dianggap berlimpah sehingga tidak menjadi kendala/keterbatasan. Jika ada kendala air maka satuannya adalah banyak jam membuka saluran tersier untuk mengalirkan air ke sawah.3. Batas ketersediaan dalam soal ini kebetulan semuanya berupa batas atas.Alternatif Penyelesaian:Besarnya pendapatan kelompok petani dipengaruhi banyak (kuintal) padi dan jagung yang diproduksi. Tentunya, besar pendapatan tersebut merupakan tujuan kelompok tani, tetapi harus mempertimbangkan keterbatasan sumber (luas tanah, tenaga dan pupuk).Misalkan x : banyak kuintal padi yang diproduksi oleh kelompok tani y : banyak kuintal jagung yang diproduksi oleh kelompok tani.Untuk memperoleh pendapatan terbesar, harus dipikirkan keterbatasan-keterbatasan berikut:a. Banyak hektar tanah yang diperlukan untuk x kuintal padi dan untuk ykuintal jagung tidak boleh melebihi 10 hektar. b. Untuk ketersediaan waktu (jam-orang) tiap-tiap padi dan jagung hanya tersedia waktu tidak lebih dari 1.550 jam-orang.c. Jumlah pupuk yang tersedia untuk padi dan jagung tidak lebih dari 460 kilogram.d. Dengan semua keterbatasan (kendala) (a), (b), dan (c), kelompok tani ingin mengharapkan pendapatan Rp40.000,00 dan Rp30.000,00 untuk setiap kuintal padi dan jagung.• Dari uraian keterbatasan atau kendala pada bagian (a), (b), dan (c) dan tujuan pada bagian (d), bersama temanmu, coba rumuskan model matematika yang mendeskripsikan kondisi yang dihadapi kelompok tani tersebut.
43MATEMATIKAMelihat uraian di atas, masalah kelompok tani transmigran dapat diubah bentuk menjadi suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pemecahan sistem tersebut dapat dikerjakan dengan metode grafik (dibahas pada subbab berikutnya). Hal ini merupakan pengembangan konsep pertidaksamaan linear satu variabel yang telah kamu pelajari pada Kelas X. Adapun model matematika untuk masalah ini, adalah suatu sistem pertidak samaan linear dua variabel sebagai berikut:0,02x + 0,05y≤ 10 2x + 5y≤ 1000 → kendala lahan10x + 8y≤ 1550 atau 10x + 8y≤ 1550 → kendala tenaga (1)5x + 3y≤ 460 5x + 3y≤ 460 → kendala pupukKarena luas tanah/lahan, banyak waktu, dan banyak pupuk tidak mungkin negatif, kendala ini sebagai kendala nonnegatif, yaitu:x≥ 0 kendala nonnegatif (2)y≥ 0Secara geometris, kendala (1) dan (2) dapat digambarkan sebagai berikut.Gambar 2.7: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan (1) dan (2).–100 100 200 300 400 500500400300200100–100DPxy10x + 8y≤ 1.5502x + 5y≤ 1.0005x + 3y≤ 460
44Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Adapun langkah-langkah untuk menggambarkan grafik di atas adalah sebagai berikut:1. Gambarkan setiap pertidaksamaan sebagai suatu persamaan garis lurus. Namun, jika tanda pertidaksamaan menggunakan tanda “<” atau “>”, maka garisnya putus-putus.2. Setiap garis akan membagi dua bidang kartesius, untuk menentukan daerah penyelesaian, ambil sembarang titik di salah satu bagian bidang tadi, misalnya titik A. Kemudian ujian kebenaran pertidaksamaan dengan menggunakan titik A. Jika pertidaksamaan bernilai benar, maka bidang asal titik A merupakan daerah penyelesaian. Jika bernilai salah, maka bidang yang bukan asal titik A merupakan daerah penyelesaian.3. Ulangi langkah 1 dan 2 untuk semua pertidaksamaan yang telah dirumuskan. Kemudian, perhatikan irisan atau daerah yang memenuhi untuk setiap pertidaksamaan yang diberikan. 4. Perhatikan syarat non – negatif untuk setiap variabel. Nilai variabel tidak selalu positif. Untuk pendapatan, tentu dimaksimumkan dan sebaliknya untuk biaya tentu diminimumkan. Untuk masalah ini, kelompok tani tentu hendak memaksimumkan pendapatan, melalui memperbanyak kuintal padi dan jagung yang dijual berturut-turut Rp40.000,00 dan Rp30.000,00. Rumusan ini disebut sebagai fungi tujuan; sebut Z(x, y). Secara matematik dituliskan:Maksimumkan: Z(x, y) = 40x + 30y (dalam satuan ribuan rupiah) (3)Dengan daerah penyelesaian yang disajikan pada Gambar 2.7, kita harus dapat menentukan nilai maksimum fungsi Z(x, y). Untuk menyelesaikan ini, kita akan bahas pada subbab berikutnya.Selain masalah transmigrasi, berikut ini kita kaji bagaimana model matematika masalah produksi suatu perusahaan.
45MATEMATIKAMasalah 2.5Alternatif Penyelesaian:Semua data yang diketahui pada masalah ini, kita sajikan pada tabel berikut.Tabel 2.5: Alokasi setiap sumber yang tersediaDengan memisalkan x: banyak unit barang yang diproduksi mesin Ay: banyak unit barang yang diproduksi mesin B.Dengan demikian kita dapat menuliskan model matematika yang menggambar-kan kondisi pada Tabel 2.5, yaitu:Kendala Persedian (1*). . . . . . . . . . . . 2x + y≥ 20. . . . . . . . . . . . ↔. . . . . . ≥ 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . ≥ 15Perusahaan “Galang Jaya” memproduksi alat-alat barang elektronik, yaitu transistor, kapasitor, dan resistor. Perusahaan harus mempunyai persediaan paling sedikit 200 resistor, 120 transistor, dan 150 kapasitor, yang diproduksi melalui 2 mesin, yaitu: mesin A, untuk setiap satuan jam kerja hanya mampu memproduksi 20 resistor, 10 transistor, dan 10 kapasitor; mesin B, untuk setiap satuan jam kerja hanya mampu memproduksi 10 resistor, 20 transistor, dan 30 kapasitor. Jika keuntungan untuk setiap unit yang diproduksi mesin A dan mesin B berturut-turut adalah Rp50.000,00 dan Rp120.000,00.Bentuklah model matematika masalah perusahaan Galang Jaya. SumberResistorTransistor KapasitorKeuntunganMesin A.... .... .... ....Mesin B .... .... .... ....Persediaan 200 120 150
46Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKKarena banyak barang yang diproduksi tidak mungkin negatif, maka kita dapat menuliskan:Kendala nonnegatif(2*)x≥ 0y≥ 0Artinya, untuk memenuhi persediaan, mungkin saja mesin A tidak berproduksi atau mesin B yang tidak berproduksi.Secara geometri, kondisi kendala persedian dan kendala non–negatif, disajikan pada gambar berikut.Gambar 2.8: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan (1*) dan (2*).Untuk menggambarkan sistem pertidaksamaan (1*) dan (2*), ikuti langkah-langkah yang diberikan di atas. Berbeda dengan Masalah 2.4, sistem pertidaksamaan (1*) dan (2*), mempunyai daerah penyelesaian berupa suatu daerah yang tidak terbatas (unbounded area).Selanjutnya, kita dapat menuliskan fungsi tujuan atau fungsi sasaran masalah ini, yaitu pemilik perusahaan tentunya ingin memaksimalkan keuntungan. Dengan demikian, dapat kita tuliskan:DP10 202010xy
47MATEMATIKAFungsi TujuanMaksimumkan: f(x, y) = 50.000x + 120.000y atauf(x, y) = 5x + 12y (dalam puluh ribu rupiah)Jadi, untuk daerah penyelesaian yang diilustrasikan pada Gambar 2.8 di atas, kita akan menentukan nilai maksimum fungsi f(x, y). Hal ini akan kita kaji pada subbab berikutnya.Dari tiga ciri di atas, dapat kita simpulkan masalah program linear dua variabel dirumuskan sebagai berikut:Masalah program linear dua variabel adalah menentukan nilai x1, x2yang memaksimumkan (atau meminimumkan) fungsi tujuan, Z(x1, x2) = C1x1 + C2x2dengan kendala:()()()11 112 2121 122 22112 212,,,,,,0,0mmmax axbax axbax a xbxx+≤=≥+≤=≥+≤=≥≥≥Definisi 2.2Namun, dalam kajian program linear tidak hanya untuk dua variabel saja, tetapi ada juga kajian program linear tiga variabel bahkan untuk n variabel. Untuk tiga variabel atau lebih dibutuhkan pengetahuan lanjutan tentang teknik menyelesaikan sistem persamaan atau pertidaksamaan linear. Selain bentuk umum program linear dua variabel di atas, kita juga menyimpul kan konsep tentang daerah penyelesaian, sebagai berikut.
48Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUntuk memantapkan pengetahuan dan keterampilan kamu dalam menggambar kan sistem pertidaksamaan yang memenuhi suatu masalah program linear, mari kita cermati pembahasan soal berikut ini.Definisi 2.3(Daerah Layak/Daerah Penyelesaian/Daerah Optimum)Daerah penyelesaian masalah program linear merupakan himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi kendala suatu masalah program linear. Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini.a) 2655024xyxyxy-≤+≥≥≤≤ b) 232 634xyxyx+≤-+ ≥≤≤Alternatif Penyelesaian:Untuk menggambarkan daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan pada sistem di atas, dapat dimulai dengan menggambar satu per satu pertidaksamaan yang diketahui. Tentu, semua daerah penyelesaian tersebut nanti harus disajikan dalam satu bidang koordinat kartesius.Contoh 2.2
49MATEMATIKAa. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan (a) di atas, adalah sebagai berikut.Gambar 2.9: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan (a).b. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan (b) di atas, adalah sebagai berikut:Gambar 2.10: Tidak ada daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan b)Jadi, tidak ada nilai x dan y yang memenuhi sistem pertidaksamaan b). Hal ini, perlu dicatat, bahwa tidak semua masalah memiliki penyelesaian.–10 5 55–5–10xyx + y≤ 2–3x + 2y≥ 6x≤ 4x≥ 3–5 5 10105–5DP5x + y≥ 52x - y≤ 6xyy≤ 4y≥ 2
50Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUji Kompetensi 2.11. Tanpa menggambarkan grafik, tentukan himpunan penyelesaian (jika ada) setiap pertidaksamaan di bawah ini.a. 2192≥-yx d. 22433yxyx+≥+b. 06≥-yxe. 2582545yxyx-≥-c. 452≥yx f. ax + by≥c, a, b, c, bilangan positif2. Untuk soal No.1, gambarkan setiap pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian (jika ada).3. Untuk setiap grafik di bawah ini, tentukan pertidaksamaan yang tepat memenuhi daerah penyelesaian. (a) (b)4. PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit. Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp2.000.000,00 dan Rp1.500.000,00.–10 –5 5 10–20 –10 10 15105–510–10–20xxyy(7, 0)(15, 0)(0, –2)70,2-DPDP
51MATEMATIKAModelkan permasalahan di atas! Kemudian gambarkan daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaannya.5. Gambarkan daerah penyelesaian setiap sistem pertidaksamaan di bawah ini.a) 2x + y≥ 24 b) 2y≤ 5 – 6xx≥ 5 1 ≤ y ≤ 66. Perhatikan grafik-grafik di bawah ini. Nyatakan pertidaksamaan-pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah yang memenuhi. (i) (ii)7. Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tiap-tiap 1 tablet, Rp1.500,00 dan Rp2.000,00.Modelkan masalah di atas. Kemudian gambarkan grafik model matematika-nya untuk menemukan daerah penyelesaian.–10 –5 5–10 –5 55–5–105–5–10xxyy
52Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK8. Untuk setiap grafik di bawah ini, tentukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah penyelesaian yang diberikan. (i) (ii)9. Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir, Rangkaian II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai. Rangkaian I dijual seharga Rp 200.000,00 dan Rangkaian II dijual seharga Rp100.000,00 per rangkaian. Modelkan masalah di atas dalam bentuk model matematika. Kemudian gambarkan grafik model matematikanya.10. Perhatikan masalah yang dihadapi seorang penjaja buah-buahan berikuti ini.Pak Benni, seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp18.000,00 tiap kilogram dan pisang Rp8.000,00 tiap kilogram. Beliau hanya memiliki modal Rp2.000.000,00 sedangkan muatan gerobak tidak lebih dari 450 kilogram. Padahal keuntungan tiap kilogram apel 2 kali keuntungan tiap kilogram pisang.Tentukan tiga titik yang terdapat pada grafik daerah penyelesaian masalah ini.
53MATEMATIKA2.3 Menentukan Nilai Optimum dengan Garis Selidik (Nilai Maksimum atau Nilai Minimum)Untuk menyelesaikan masalah program linear dua variabel, dengan metode grafik akan dapat ditentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaannya. Setelah kita sudah memahami menggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan, kita tinggal memahami bagaimana cara menentukan nilai fungsi tujuan di daerah penyelesaian. Nilai suatu fungsi sasaran ada dua kemungkinan, yaitu bernilai maksimum atau minimum. Istilah nilai minimum atau nilai maksimum, disebut juga nilai optimum atau nilai ekstrim. Jadi, pembahasan kita selanjutnya bagaimana konsep menentukan nilai optimum suatu fungsi tujuan dari suatu masalah program linear.Mari kita cermati kajian berikut ini.Masalah 2.6 Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua jenis kapsul obat flu yang diberi nama Fluin dan Fluon. Tiap-tiap kapsul memuat tiga unsur (ingredient) utama dengan kadar kandungannya tertera dalam Tabel 2.6. Menurut dokter, seseorang yang sakit flu akan sembuh jika dalam tiga hari (secara rata-rata) minimal menelan 12 grain aspirin, 74 grain bikarbonat dan 24 grain kodein. Jika harga Fluin Rp500,00 dan Fluon Rp600,00 per kapsul, bagaimana rencana (program) pembelian seorang pasien flu (artinya berapa kapsul Fluin dan berapa kapsul Fluon harus dibeli) supaya cukup untuk menyembuhkannya dan meminimumkan ongkos pembelian total?Table 2.6: Kandungan Unsur (dalam grain)UnsurBanyak grain perkapsul FluinFluonAspirin21Bikorbonat58Kodein16
54Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Data pada masalah di atas, dapat disajikan seperti tabel berikut ini. Tabel 2.7: Tabel persiapanUnsur FluinFluonBatas MinimumAspirin2112Bikarbonat5874Kodein1624Harga500600Dengan tabel tersebut, dapat kita misalkan:x : banyak kapsul Fluin yang dibeliy : banyak kapsul Fluon yang dibeli.Selanjutnya, kita dengan mudah menemukan bentuk masalah program linear masalah di atas.Mencari x, y yang memenuhi: 2x + y≥ 12 5x + 8y≥ 74x + 6y≥ 24 (a)x≥ 0y≥ 0dan meminimumkan Z(x, y) = 5x + 6y (dalam ratusan rupiah). (b)Sebelum kita menentukan nilai minimum fungsi Z(x, y), terlebih dahulu kita gambarkan grafik sistem pertidaksamaan (a), untuk menemukan daerah penyelesaian.InformasiSoftware Autograph merupakan salah satu software yang digunakan untuk menggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.Autograph juga dapat digunakan untuk menggambarkan berbagai grafik fungsi, misalnya fungsi kuadrat dan fungsi logaritma.
55MATEMATIKAGambar 2.11: Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan (a)Daerah penyelesaian sistem (a) berupa suatu area tak terbatas (unbounded area). Untuk menentukan nilai minimum fungsi Z(x, y) = 5x + 6y (dalam ratusan rupiah), artinya kita harus menemukan satu titik (dari tak hingga banyak titik yang terdapat pada daerah penyelesaian) sedemikian sehingga menjadikan nilai fungsi menjadi yang terkecil di antara yang lain.Untuk menemukan koordinat titik A hingga E, kamu sudah mempelajari pada saat SMP dan SMA kelas X. Tentunya, jika kita memeriksa nilai fungsi Z(x, y) = 5x + 6y pada kelima titik itu, bukanlah sesuatu hal yang salah, bukan? Hasilnya disajikan pada tabel berikut.xyDaerahPenyelesaian201010 20A(0, 20)B(0, 12)C(2, 8)D126 23,11 11E(24, 0)x + 6y≥ 242x + y≥ 125x + 8y≥ 74
56Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTabel 2.8: Nilai fungsi Z(x, y) = 5x + 6y (dalam ratus rupiah) pada lima titik sudut daerah penyelesaianMenurut Tabel 2.8, nilai minimum fungsi adalah Z(x, y) = 5x + 6y adalah 5.800, dan titik yang membuat fungsi tujuan bernilai minimum adalah titik C(2, 8). Pertanyaannya, apakah ini nilai minimum fungsi di daerah penyelesaian? Untuk memastikannya, kita selidiki nilai fungsi Z(x, y) = 5x + 6y pada daerah penyelesaian, dengan cara menggeser (ke kiri atau ke kanan; ke atas atau ke bawah). Kita namakan garis k = 5x + 6y sebagai garis selidik, untuk k bilangan real. Seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini.Gambar 2.12: Nilai garis selidik Z(x, y) = 5x + 6y pada daerah penyelesaianA(0, 20) B(0, 12) C(2, 8) D126 23,11 11E(24, 0) Z(x, y) = 5x + 6y 12.000 7.200 5.800 6.981,8 12.000xy201010 20A(0, 20)B(0, 12)C(2, 8)D126 23,11 11E(24, 0)x + 6y≥ 242x + y≥ 125x + 6y = 1205x + 6y = 1005x + 6y = 905x + 8y≥ 74
57MATEMATIKATelah dibentuk model matematika masalah tersebut, yaitu0,02x + 0,05y≤ 10 2x + 5y≤ 1.000 → kendala lahan10x + 8y≤ 1.550 atau 10x + 8y≤ 1.550 → kendala waktu (3*)5x + 3y≤ 460 5x + 3y≤ 460 → kendala pupukx≥ 0y≥ 0Fungi TujuanMaksimumkan: Z(x, y) = 4x + 3y (dalam puluh ribu rupiah). (4*)Kita akan menentukan banyak hektar tanah yang seharusnya ditanami padi dan jagung agar pendapatan kelompok tani tersebut maksimum.Alternatif Penyelesaian:Pada pembahasan Masalah 2.4, kita sudah menggambarkan daerah penyelesaian sistem (3*). Mari kita cermati lagi gambar tersebut. Kita sudah menempatkan garis selidik 4x + 3y = k pada daerah penyelesaian-nya.Misalnya, kita pilih 3 titik yang terdapat pada daerah penyelesaian, yaitu titik P(6, 10), Q(8, 10), dan R(12, 10), sedemikian sehingga terbentuk garis 5x + 6y = 90, 5x + 6y = 100, dan 5x + 6y = 120, seperti yang disajikan pada Gambar 2.12. Karena kita ingin menentukan nilai minimum fungsi, maka garis = 5x + 6y = 90 digeser ke bawah hingga ditemukan nilai minimum fungsi, yaitu 5.800, pada titik (2, 8). Jadi, agar seorang pasien flu sembuh, harus mengkomsumsi 2 kapsul fluin dan 8 kapsul fluon dengan biaya Rp5.800,00.Untuk membantu kamu semakin memahami penentuan nilai optimum suatu fungsi tujuan dengan garis selidik, mari kita selesaikan masalah kelompok tani transmigran (Masalah 2.4)Contoh 2.3
58Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 2.13: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan (3*).Misalnya kita pilih 3 titik yang terdapat pada daerah penyelesaian, misalnya A(30, 20), B(80, 10), dan C(40, 30), sedemikian sehingga terbentuk garis 4x + 3y = 180, 4x + 3y = 250, dan 4x + 3y = 350, seperti yang disajikan pada Gambar 2.13. Karena kita ingin menentukan nilai maksimum fungsi tujuan, maka garis 4x + 3y = 350 digeser ke atas hingga ditemukan nilai maksimum fungsi, yaitu 460 di titik 015313,.Jadi, untuk memaksimumkan pendapatan, petani harus memproduksi 11533kuintal jagung tidak perlu memproduksi padi. Dengan demikian petani memperoleh pendapatan maksimalnya sebesar Rp460.000,00.Bandingkan masalah berikut ini dengan Masalah 2.6xy500400300200100–100–100 100 200 300 400 500A10,1533B(92, 0)4x + 3y = 3504x + 3y = 2504x + 3y = 18010x + 8y≤ 1.5502x + 5y≤ 1.0005x + 3y≤ 460
59MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Untuk memudahkan kita dalam membahas masalah ini, misalkan x : banyak tanaman hias A yang dipesan y : banyak tanaman hias S yang dipesan.Pernyataan ”Oleh karena itu agen besar memiliki aturan bahwa setiap pemesanan tanaman hias A paling sedikit 20% dari seluruh pesanan tanaman hias lain”, dapat dituliskan sebagai berikut.xxy≥+()15 atau 40xy−≥.Masalah 2.7Apakah kamu pernah melihat tanaman hias seperti di bawah ini? Tahukah kamu berapa harga satu tanaman hias tersebut?Gambar 2.14: Tanaman Hias Aglaonema dan Sansevieria Sumber: www.aksesdunia.comSetiap enam bulan, seorang pemilik usaha tanaman hias memesan tanaman hias dari agen besar; Aglaonema (A) dan Sansevieria (S) yang berturut-turut memberi laba sebesar Rp5.000.000,00 dan Rp3.500.000,00 per unit yang terjual. Dibutuhkan waktu yang cukup lama untuk menghasilkan satu tanaman hias dengan kualitas super. Oleh karena itu agen besar memiliki aturan bahwa setiap pemesanan tanaman hias A paling sedikit 20% dari seluruh pesanan tanaman hias lain. Pemilik usaha tanaman hias memiliki lahan yang hanya cukup untuk 10 tanaman hias A saja atau 15 tanaman hias S. Dalam keadaan demikian, berapa banyak tanaman hias A dan S sebaiknya dipesan (per semester) jika diketahui bahwa pada akhir semester tanaman hias lama pasti habis terjual dan pemilik usaha tersebut ingin memaksimumkan laba total?
60Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUntuk memperoleh laba, pemilik harus mempertimbangan keterbatasan lahan sebagai daya tampung untuk tiap-tiap tanaman hias. Misal, L: luas kebun tanaman hias,Lx : luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias A,Ly : luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias S.Sesuai keterangan pada masalah di atas, luas kebun hanya dapat menampung 10 tanaman hias A atau 15 tanaman hias S. Pernyataan ini, dimodelkan sebagai berikut:110xLL= dan 115yLL=Tentu luas kebun yang diperlukan untuk x banyak tananam hias A dan ybanyak tanaman hias S tidak melebihi luas kebun yang ada. Oleh karena itu, dapat dituliskan;11..1015xLyLL +≤ atau 3x + 2y≤ 30.Selanjutnya, pemilik kebun mengharapkan laba sebesar Rp5.000.000,00 dari 1 tanaman hias A yang terjual dan Rp3.500.000,00 dari 1 tanaman hias S yang terjual. Oleh karena itu, untuk sebanyak x tanaman hias A yang terjual dan sebanyak y tanaman hias S yang terjual, maka dapat dituliskan sebagai laba total pemilik kebun, yaitu:Z = 5x + 3,5y (dalam juta rupiah).Jadi secara lengkap, model matematika masalah program linear pemilik kebun tanaman hias dinyatakan sebagai berikut.Menentukan x dan y yang memenuhi kendala:40323000xyxyxy-≥+≤≥≥ (1.1)Dengan fungsi tujuan:Maksimumkan: Z = 5x + 3,5y (dalam juta rupiah).
61MATEMATIKASelanjutnya, kita akan menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear (1.1). Tentunya, diharapkan keterampilan kamu dalam menggambarkan daerah penyelesaian sistem tersebut sudah makin meningkat. Sekaligus juga, kamu harus makin terampil dalam memilih titik dalam daerah penyelesaian untuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan.Adapun grafik daerah penyelesaian sistem (1.1) disajikan pada gambar berikut ini.Gambar 2.15: Grafik daerah penyelesaian sistem (1.1)Dengan mengambil tiga titik yang terdapat pada daerah penyelesaian, misalnya titik (2, 2), (3, 2), dan (3, 4), sehingga menghasilkan garis 5x + 3,5y = 17, 5x + 3,5y = 22, dan 5x + 3,5y = 29, seperti yang disajikan pada Gambar 2.15. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi Z = 5x + 3,5y, berarti kita menggeser garis 5x + 3,5y = 29 ke atas, hingga ditemukan nilai maksimum, yaitu Z = 51.818.181,8181 atau sekitar Rp51.818.200,00 pada titikB2811101011,.xy105–5A()10, 0B8102,101111153x + 2y≤ 304x – y≥ 05x + 3,5y = 295x + 3,5y = 17–5 5 105x + 3,5y = 22
62Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKNamun, pada kenyataannya, ditemukannya titik 8102,101111B sebagai titik optimum masalah di atas mengakibatkan hal yang tidak mungkin terjadi untuk menemukan 8211 tanaman hias A dan 101011tanaman hias S. Artinya, kita harus menemukan nilai x dan y (x, y bilangan bulat positif). • Dalam kertas berpetak, di dalam daerah penyelesaian cermati titik-titik yang dekat dengan titik 8102,101111B. Tetapi titik yang kita inginkan, yaitu (x, y) harus untuk x dan y merupakan bilangan bulat positif.• Bandingkan hasil yang kamu peroleh jika menggunakan konsep pembulatan bilangan untuk menentukan pembulatan titik 8102,101111BSebagai petunjuk buat kamu, nilai optimum fungsi sasaran adalah Rp50.000.000,00 dengan banyak tanaman hias A dan S, masing-masing 3 unit dan 10 unit. Dari pembahasan Masalah 2.7 ini, ternyata metode garis selidik tidak akurat menemukan nilai optimum fungsi tujuan. Namun, pada umumnya, metode garis selidik dapat menemukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi tujuan. Tetapi, kamu harus lebih kritis lagi dalam memecahkan masalah-masalah program linear yang mengharuskan penyelesaian berupa bilangan bulat positif. Dari pembahasan Masalah 2.6, Masalah 2.7, dan Contoh 2.3, kita dapat mendefinisikan garis selidik, yaitu:Definisi 2.4 Garis selidik adalah grafik persamaan fungsi sasaran/tujuan yang digunakan untuk menentukan solusi optimum (maksimum atau minimum) suatu masalah program linear.
63MATEMATIKAUntuk menentukan persamaan garis selidik k = C1x1 + C2x2 dengan kbilangan real, kita memilih minimal dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) yang terdapat di daerah penyelesaian. Dengan dua titik tersebut, nilai optimum fungsi sasaran dapat ditemukan melalui pergeseran (ke atas atau ke bawah; ke kanan atau ke kiri) garis selidik di daerah penyelesaian. Masalah 2.7 mengingatkan kita bahwa tidak selamanya penentuan nilai optimum dengan menggunakan garis selidik. Terdapat beberapa kasus yang memerlukan ketelitian yang tinggi dalam menyelesaikan masalah program linear.2.4 Beberapa Kasus Daerah PenyelesaianDari beberapa masalah yang telah dibahas di atas, masalah program linear memiliki nilai optimum (maksimum atau minimum) terkait dengan eksistensi daerah penyelesaian. Oleh karena itu terdapat tiga kondisi yang akan kita selidiki, yaitu:1) tidak memiliki daerah penyelesaian2) memiliki daerah penyelesaian (fungsi tujuan hanya memiliki nilai maksimum atau hanya memiliki nilai minimum)3) memiliki daerah penyelesaian (fungsi tujuan memiliki nilai maksimum dan minimum).1) Tidak memiliki daerah penyelesaianMari kita cermati, Gambar 2.16Diberikan sistem:ax + by ≤ c; a ≠0, b ≠0px + qy ≥ t; p ≠0, q ≠0Untuk setiap a, b, c, p, q, dan t∈ R• Selidiki hubungan antar koefisien variabel x dan y serta konstanta c dan t pada sistem tersebut, hingga kamu menemukan syarat bahwa suatu sistem pertidaksamaan linear tidak memiliki daerah penyelesaian.
64Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 2.16: Sistem pertidaksamaan yang tidak memiliki daerah penyelesaian.2) Memiliki daerah penyelesaian (fungsi sasaran hanya memiliki nilai maksimum atau hanya memiliki nilai minimum) Grafik berikut ini, mendeskripsikan bahwa walaupun kendala suatu program linear memiliki daerah penyelesaian, ternyata belum tentu memiliki nilai fungsi sasaran. Mari kita cermati.• Dari Gambar 2.17, tentukan sistem pertidaksamaan yang bersesuaian dengan grafik daerah penyelesaian seperti pada gambar.Selanjutnya, dengan sistem pertidaksamaan yang telah kamu temukan, misalnya diketahui fungsi tujuan;a. Maksimumkan: Z(x, y) = mx + ny; m, n ∈ R+b. Minimumkan:Z(x, y) = mx + ny; m, n ∈ R+• Dengan demikian, tentu kamu dapat menemukan kondisi suatu program linear yang memiliki daerah penyelesaian tetapi fungsi tujuannya hanya memiliki nilai minimum dan tidak memiliki nilai maksimum (kenapa?). xy5–5–10–10 –5 5I2 : px + qy ≥tI1 : ax + by ≤c
65MATEMATIKA• Rancang suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel, yang memiliki daerah penyelesaian tetapi fungsi tujuannya hanya memiliki nilai maksimum. Berikan penjelasan, kenapa fungsi tujuannya tidak memiliki nilai minimum. Gambar 2.17: Grafik daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan.3) Memiliki daerah penyelesaian (fungsi tujuan memiliki nilai maksimum dan minimum)Pertidaksamaan2x – 3y + 12 ≥ 03x + 2y – 12 ≤ 0x ≥ 00 ≤ y ≤ 4merupakan kendala yang bersesuaian dengan grafik daerah penyelesaian pada Gambar 2.18 berikut.• Misalnya, diberikan fungsi sasaran berikut ini:a) Maksimumkan:Z = 3x + 2yb) Minimumkan:Z = 3x + 2yxy5–5–10 –5 5
66Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDengan teliti, coba kamu tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi sasaran tersebut. Bandingkan hasil yang kamu temukan dengan temanmu.Gambar 2.18: Grafik daerah penyelesaian yang terbatas.Pertanyaan Kritis!!!Diketahui sistem pertidaksamaan linear suatu masalah program linear.( )( ),;0,0 (1),;0,0 (2)00ax byc abpx qyt pqxy+ ≥≤ ≠ ≠+ ≥≤ ≠ ≠≥≥a, b, c, p, q, dan t merupakan bilangan real, dan c < t.Selidiki syarat agar sistem pertidaksamaan linear tersebut:i. tidak memiliki daerah penyelesaian;ii. memiliki daerah penyelesaian;iii. memiliki daerah penyelesaian berupa suatu garis atau segmen garis;iv. memiliki daerah penyelesaian hanya satu titik.xy5–5–10–10 –5 5
67MATEMATIKA1. Rani dan Ratu menjalankan suatu bisnis kecil, mereka bekerja sama untuk menghasilkan blus dan rok. Untuk menyelesaikan 1 blus, Rani dan Ratu harus bekerja sama selama 1 jam. Untuk menyelesaikan 1 rok, Rani harus bekerja 1 jam dan Ratu harus bekerja 0,5 jam. Setiap hari, Ratu hanya mampu menyediakan 7 jam kerja, dan Ratu hanya 5 jam. Mereka hendak membuat blus dan rok yang sama banyaknya. Mereka mendapat keuntungan Rp80.000,00 untuk setiap blus dan Rp60.000,00 untuk setiap rok (Anggap semua blus dan rok habis terjual).a. Rancang model matematikanya.b. Berapa banyak blus dan rok yang selesaikan mereka? Berapa keuntungan maksimal yang mereka peroleh?2. Suatu perusahaan transportasi harus mendistribusikan 1200 paket (yang besarnya sama) melalui dua truk pengangkut. Truk 1 memuat 200 paket untuk setiap pengangkutan dan truk 2 memuat 80 paket untuk setiap pengangkutan. Biaya pengangkutan untuk truk 1 dan truk 2 masing-masing Rp400.000,00 dan Rp200.000,00. Padahal biaya yang tersedia untuk mengangkut 1200 paket hanya Rp3.000.000,00. Hitunglah biaya minimal biaya pengangkutan paket tersebut.3. Perusahaan “SABAR JAYA”, suatu perusahaan jasa, memiliki 2 tipe karyawan. Karyawan tipe A digaji sebesar Rp135.000,00 per minggu dan karyawan tipe B digaji sebesar Rp270.000,00 per minggu. Pada suatu proyek memerlukan 110 karyawan, tetapi paling sedikit sebanyak 40 karyawan tipe B yang bekerja. Selain itu, untuk setiap proyek, aturan perusahaan mengharuskan banyak karyawan tipe B paling sedikit 0,5 dari banyak karyawan tipe A. Hitunglah banyak karyawan tipe A dan karyawan tipe B pada perusahaan tersebut.4. Selesaikan Masalah 2.5.Uji Kompetensi 2.2
68Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK5. Gambarkan daerah penyelesaian untuk setiap kendala masalah program linear berikut ini.a) x – 4y≤ 0; x – y≤ 2; –2x + 3y≤ 6; x≤ 10b) x + 4y≤ 30; –5x + y≤ 5; 6x – y≥ 0; 5x + y≤ 50; x – 5y≤ 0c) x + 4y ≤ 30; –5x + y ≤ 5; 6x – y≥ 0; 5x + y≤ 50; x + 5y≤ 06. Jika diberikan fungsi, hitung nilai maksimum dan nilai minimum fungsi (jika ada) untuk setiap sistem pertidaksamaan pada Soal No.5.7. Perhatikan gambar di bawah ini.Tentukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi jika setiap label daerah merupakan daerah penyelesaian.8. Rancang suatu sistem pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah penyelesaian-penyelesaian berikut ini.a) berbentuk segitiga sama sisi di kuadran pertamab) berbentuk trapesium di kuadran keduac) berbentuk jajargenjang di kuadran keempat-9-7-5-313579-113579-1-3-5-7-9KJBAGDEHIFCyx
69MATEMATIKA9. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp 150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama.10. Cermati pertidaksamaan ax + by ≥ c.Untuk menentukan daerah penyelesaian pada bidang koordinat, selain dengan menggunakan uji titik, selidiki hubungan tanda koefisien x dan yterhadap daerah penyelesaian (bersih) pertidaksamaan.11. Tentukan titik yang mengakibatkan fungsi linear( )42,--=yxyxfbernilai optimum (maksimum atau minimum) jika daerah asal dibatasi sebagai berikut 11≤≤-x; 11≤≤-y. (Periksa nilai fungsi di beberapa titik daerah asal dan periksa bahwa nilai optimum tercapai pada suatu titik sudut daerah asal).Soal ProyekSetiap manusia memiliki keterbatasan akan tenaga, waktu, dan tempat. Misalnya, dalam aktivitas belajar yang kamu lakukan setiap hari tentu kamu memiliki keterbatasan dengan waktu belajar di rumah, serta waktu yang kamu perlukan untuk membantu orang tuamu. Di sisi lain, kamu juga membutuhkan waktu yang cukup untuk istirahat setelah kamu melakukan aktivitas belajar dan aktivitas membantu orang tua. Dengan kondisi tersebut, rumuskan model matematika untuk masalah waktu yang kamu perlukan setiap hari, hingga kamu dapat mengetahui waktu istirahat yang kamu peroleh setiap hari (minggu).Selesaikan proyek di atas dalam waktu satu minggu. Susun hasil kinerja dalam suatu laporan, sehingga kamu, temanmu, dan gurumu dapat memahami dengan jelas.
70Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKBeberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait dengan konsep program linear.1. Konsep program linear didasari oleh konsep persamaan dan pertidaksamaan bilangan real, sehingga sifat-sifat persamaan linear dan pertidaksamaan linear dalam sistem bilangan real banyak digunakan sebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu masalah program linear.2. Model matematika merupakan cara untuk menyelesaikan masalah kontekstual. Pembentukan model tersebut dilandasi oleh konsep berpikir logis dan kemampuan bernalar keadaan masalah nyata ke bentuk matematika.3. Dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel dikatakan membentuk kendala program linear linear jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap pertidaksamaan linear pada sistem tersebut. Sistem pertidaksamaan ini disebut sebagai kendala.4. Fungsi tujuan/sasaran (fungsi objektif) merupakan tujuan suatu masalah program linear, yang juga terkait dengan sistem pertidaksamaan program linear.5. Nilai-nilai variabel (x, y) disebut sebagai himpunan penyelesaian pada masalah suatu program linear jika nilai (x, y) memenuhi setiap pertidaksamaan yang terdapat pada kendala program linear.6. Suatu fungsi objektif terdefinisi pada daerah penyelesaian suatu masalah program linear. Fungsi objektif memiliki nilai jika sistem kendala memiliki daerah penyelesaian atau irisan. 7. Konsep sistem pertidaksamaan dan persamaan linear berlaku juga untuk sistem kendala masalah program linear. Artinya jika sistem tersebut tidak memiliki solusi, maka fungsi sasaran tidak memiliki nilai. D. Penutup
71MATEMATIKA8. Garis selidik merupakan salah satu cara untuk menentukan nilai objektif suatu fungsi sasaran masalah program linear dua variabel. Garis selidik ini merupakan persamaan garis fungi sasaran, ax + by = k, yang digeser di sepanjang daerah penyelesaian untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi sasaran masalah program linear.Penguasaan kamu tentang program linear akan memfasilitasi kamu untuk mampu menyelesaikan masalah-masalah dalam dunia ekonomi, kesehatan, dan bidang lainnya. Untuk masalah-masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berbentuk nonlinear akan dikaji pada aplikasi turunan.